3 семестр / Лекции / ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-1-9

Пусть j– номер стержня, j=1,2,3,...,R, где R число стержней в исходной

системе (в нашем примере j=1,2,3,4),

= 1,2,3

первых трех

= 1,2,3, … ,

- усилия в отброшенных связях, i

-

номер точки, в которой силы

приложены,

,

(в примере

и совпадают с номерами

Из

стержней). – степень статической неопределимости.

задач. Убираем внешние нагрузки и оставляем только

Рассмотрим

одну из сил

которую полагаем единичной.

,

1

1 = 1

первой задачи находим

– усилия в стержнях от единичной силы

Из, и т.д.

2

2

= 1

второй задачи находим

– усилия в стержнях от единичной силы

Решая все n задач находим

– усилия в стержнях j от единичной силы

приложенной в точке .

По формуле Максвелла

=

-Мора находим

единичной

.

направлении силы

под действием

здесь

- перемещение точки=1в

силы

= 1

= 0,

= 1,2,3,Рассмотрим… ,

еще одну задачу. Оставляем внешние нагрузки, а

Из этой задачи находим

- усилия от внешней нагрузки.

уравнения

.

1 = 2

= 3

= 0

4

По

∑ = 0

, а

определяется из

В нашем примере

усилия

∆ =

формуле Максвелла-Мора находим

=1

2

внешних

∆

- перемещение точки

в направлении силы

под действием

здесь

нагрузок.

11 1

+ 12

2

+ 13 3

+ + ∆1= 0

Уравнения совместности деформации имеют вид

21 1

+ 22

2

+ 23 3

+ + ∆2= 0

1 1

+ 2

2

+ 3 ...3

+ + ∆ = 0

(1)

1 1

+ 2 2

...

+ + ∆ = 0

+ 3 3

Из этих уравнений находятся

, после чего усилия в стержнях находим

по формуле

=

+

+

+ +

Уравнения (1)

1 1

2 2

достаточно просто обобщаются на случай наличия в

1,2,...,n выполнены короче требуемых размеров на величину

∆0

(монтажный

зазор). Канонические уравнения метода сил запишутся

11

1

+ 12

2

+ 13

3

+ + ∆1

= ∆01

21

1

+ 22

2

+ 23

3

+ + ∆2

= ∆02

1 1 + 2 2

+ 3 3

+ + ∆ = ∆0

1 1

+ 2 2

...

+ + ∆ = ∆0

+ 3 3

...

Кроме того заменив

на

найдем температурные напряжения в

...,n охлаждаются).

системе (если стержни 1,2,∆0

∆Т

= 30 ,

одинаковы для стержней 1 и 2.

Пример.

°

Рассмотрим систем изображенную на рисунке а)

положим

-

Степень статической неопределимости

= 4 −3 = 1

Выбираем основную систему б)

11 1 + ∆1= 0

Имеем одно каноническое уравнение.

3

Длина

Из в) имеем

= 1,

2 + 1 ∙ 2 = 0 → = −4

12

11

1

11

11

1 = 2 , 2 =

+

= 4 2 + 1 = 33

=

=

стержней

1

1

2

1

2

2

2

2

=1

11

12

Из г)

1 1

2

2

2 = 0,

1

1

− 2 = 0 → 1 = 4

∆ 1=

2

=

1

1

+

2 2

2

= −4 ∙4 ∙ 2 + 0 = −32

1

11 1 1

12

2

=1

33

1 −

32

= 0

Каноническое уравнение.

1

=

32

Усилия в стержнях

33

4

=

+

= 4 +

32

(−4)

=

4

33

33

1

1

1 11

32

(1) =

32

=

+

= 0 +

33

33

Это ответ задачи2.

2

1

12

Деформационная

проверка:

для

основной системы

б) проверяем

∆ =

равенство нулю перемещения ∆ 1

1

точки приложения силы 1

11 1 1

12 2 2

−4 ∙ 4 ∙ 2

1 32

ачения

– это полученные в ответе зн=1

33

1

==

+

=

33

+

= 0

∆

1 1

2 2

= 0

Проверим уравнение статики

32

4

1

+

33

2

33

2 − 2 = 0